历年国考最值问题题型与知识点梳理,历年春季

时间:2019-11-21 12:16来源:威澳门尼斯人官网
极值思想在国家公务员[微博]考试中是一类常考的题型,它主要包括两个主要的方面,一是和定最值,二是抽屉原理。极值思想的核心就是对于某些变化的量,使他们达到某种极限,在

  极值思想在国家公务员[微博]考试中是一类常考的题型,它主要包括两个主要的方面,一是和定最值,二是抽屉原理。极值思想的核心就是对于某些变化的量,使他们达到某种极限,在这样的情况下求解答案。

李彩艳

随着公务员[微博]考试报考人数的与日俱增,出题的难度也越来越大,命题人出题越来越灵活,中公教育[微博]专家提醒大家,不要一味的想着用公式去解决问题,我们应该在熟悉题目的原理,这样才能以不变应万变,运筹帷幄,接下面我们就来谈一下,近些年出现的比较多的一种题型,叫做“极值问题”。“极值问题”主要包含两部分,一个叫“最不利原则”,另外一个叫“和为定值求极值”,那么本节,中公教育专家主要来介绍极值问题里面的第一类,叫做“最不利原则问题”。

在历年的春季联考数量关系中,每年都有一道或者两道最难的题让考生无从着手。本文将对历年春季联考中最难的题目进行盘点,希望对考生考试有所帮助。

  首先,我们来看一下和定最值的思想,它其实就是解决在A+B为定值时,如果求A的最大值,那么就应该使B的值尽可能的小;求A为最小值,那么就应该使B的值尽可能的大。在做题的时候,一般都是设未知数x,再进行相应地分析,得到答案。综合历年来的考题,并不仅仅上述形式,还有许多题目都是多数之和为定值的形式,比如,当A+B+C+……为定值时,当求某一数的最大值时,其实就是让其他的值便尽可能的小便可以满足题目的要求;求某一数的最小值时,其实也就是让其他值尽可能的大。

最值问题是国考(微博)每年的必考题型,华图教育(微博)考试研究中心提醒考生考生备考中需要重点突破的题型。本文就最值问题的题型与知识点进行梳理。

标识:有若干种事物,从中至少抽出几个,才能保证在抽出的事物符合问题的要求。这类问题 的识别往往不是靠“至少”去识别,而是有“保证”或隐藏“保证”含义这样的关键字。

2009年联考最难的题

  【例1】10个箱子总重100公斤吗,且重量排在前三位的的箱子总重量不超过重量排在后三位的箱子总重量的1.5倍。问最重的箱子最重是多少公斤。

题型识别

基础思想:把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

【例1】*(2009426联考)*一本100多页的书,被人撕掉了4张。剩下的页码总和为8037。则该书最多有多少页?

  中公解析:这是一道多数之和为定值的问题,我们按照重量从大到小对箱子编号,1号代表最重的箱子。要使1号箱子最重,也就是使其他的箱子的重量都尽可能的轻,题干中并没有要求箱子重量各不相同,所以2到10号箱子,每个箱子都能达到最轻,也就是这9个箱子可以为相同的最轻的重量。我们可以设最重的箱子为Y,其他箱子都是X。

当题干中出现“至少……(才)保证……”、“至少……都”、“最……最多(少)……”、“排名第……最多(少)”等字眼时,均可判定该题为最值问题。

解法:确定问题的要求(取N个),运用最不利的原则,每种事物最多取(N-1个),某种事物不满足问 题要求或者数量不够(N-1个),则全取,把所有数量相加以后,再加1,即可。

A.134 B.136

  于是根据总重量为100公斤,得到第一个等式:Y+9X=100。而题干中又有一个限制条件,要求重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位箱子总重的1.5倍,也即1、2、3号箱子重量之和小于等于8、9、10号箱子重量之和。也就是(Y+X+X)≦1.5(X+X+X),进一步计算可得:Y≦2.5X。要想第一个箱子最重,也就是Y要尽可能的大,而Y又不能超过2.5X,故Y最大只能取2.5X,带入第一个等式得到Y+9X=2.5X+9X=100,计算出X=200/11,得出Y=2.5X=500/11。故最重的箱子,重量为500/11。

题型分类

核心思想:最不利原则。

C.138 D.140

  讲完了和定最值问题后,我们接下来看一下抽屉问题,抽屉问题一般是在题目当中出现“至少……才能保证……”这样的字眼便说明是抽屉问题,做这样类型的题目一般是运用最不利原则,想到最坏的情况,从而进行解题。这里的极限就是当所有无法满足条件的情况都发生后,再加一次,则无论如何都能满足条件。

最值问题重点考察最值思想。根据题目特点,最值问题可以分为三类,且每类的解答方法不同。

我们现在举扑克牌的例子来说明一下,什么叫做最不利。

【答案】A

  【例2】有300名求职者参加高端人才专场招聘会,其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作,才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?

表1:最值问题各题型及对应解法

大家都知道一副完整的扑克牌,包括54张,其中有大王、小王两张。

【解析】页码问题。撕掉四张纸的页码数之和定是偶数,由“剩下页码数是奇数”可知总的页码数是奇数,排除B、D选项。代入C选项,则撕掉的页码数之和是138×(138+1)÷2-8037=1554>138×8,不符合题意排除。所以,只有A项符合题意。因此,本题的正确答案为A选项。

  【中公解析】要想一定有70名找到工作的人专业相同,则1人或两人2人....。。或69人找到相同的工作,都无法满足,考虑最差的情况:软件设计类、市场营销类、财务管理类各招录了69人,人力资源管理类50人全部招完,这是所有不满足条件的情况都发生了,此时任意再录取1人就能够保证一定有70名找到工作的人专业相同。因此至少有69×3+50+1=258人找到工作就满足条件。

题型名称 识别特征 方法 重难点
抽屉原理 “至少……保证” 最不利的情况+1 找到最不利的情况
多集合问题 (满足)A的有……,(满足)B的有……,(满足)C的有……,(问)满足A、B和C的至少有……? 构造反向

最不利

正确识别题型
构造数列 或不等式 “最(多)的……最(少)”、“排名第……最多(少)……” 构造数列 或不等式 注意题干中“互不相等”与隐藏的“等”

那我如果想要从这副完整的扑克牌中抽取,怎么样才能满足以下几种条件:

【注释】等差数列与代入排除的考察,但本题给人一种无从着手的感觉。

  中公教育[微博]专家建议大家多做题目,将每种方法的实质及使用环境弄清楚,这样才能够在考试中,迅速选择方法,在最短的时间内,快速解题,从而拿高分,一举成功!

考务考情

(1) 至少抽多少张,才能够保证有2张牌花色相同。

2010年联考最难的题

这三类题型在国考中均有考察,2008到2012年国考最值问题的分布见表2。

【解析】倒霉的情况,无非是,有2个无关花色的牌,大王,小王,你先把它们抽了出来,接下来,开始抽花色,比如,你最先抽到的是♡,这时候接着抽的时候,倒霉的情况,肯定是抽到了其他的花色比如♠,再之后抽到了♧和♢,这时候已经是最倒霉的情况了,此时,不管你再怎么抽,只要随便抽任何一张,都能够保证有2张牌的花色是相同的。

【例2】*(2010425联考)*甲乙两人相约见面,并约定第一人到达后,等15分钟不见第二人来就可以离去。假如他们都在10至10点半的任意时间来到见面地点,则两人能见面的概率有多大?

表2:2008-2012年国考最值问题题型分布题型

【答案】2(无关项)+4(每个花色各一)+1=7张

A.37.5% B.50%

题型 考察年份
抽屉原理 2012
多集合问题 2008
构造数列或不等式 2011、2010、2009

那么接下来我们再来巩固一下,就很容易做出答案。

C.62.5% D.75%

由表2可以看出,构造数列或不等式为最值问题考核的重点。

(2) 至少抽多少张,才能够保证有2张牌点数相同。

【答案】D

典型例题详解

【答案】2+13+1=16张

【解析】概率问题。由题意得:若先到达者是10:15以后到达的,那么他们肯定能够相遇,此时的概率为1/2*1=1/2;若先到者是10:15以前到达的,那么他们相遇的概率为1/2*1/2=1/4。所以,相遇的总的概率为1/2+1/4=3/4。因此,本题的正确答案为D选项。

抽屉原理

【真题回顾】有300名求职者参加高端人才专场招聘会,其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人 力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作,才能保证一定有70名找到工作的人 专业相同?( )

【注释】本题这种分类讨论法不完全正确,但是足以用特殊情况把正确选项选出。

【例1】(2012-国家-66)有300名求职者参加高端人才专场招聘会,其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作,才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?()

A. 71 B.119

2011年联考最难的题

A.71B.119

C. 258 D.277

【例3】*(2011424联考)*10个箱子总重100公斤,且重量排在前三位数的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的 1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤?

C.258D.277

【答案】C

A.500/23 B.200/11

【答案】C

【解析】先确定目标“有70名找到工作的人专业相同”。但是我们发现有的专业能满足70个;有的不 能满足70个。

C.20 D.25

【题眼】“至少……保证……”

运用最不利原则,先取无关项,根本不能满足的,全部取完,就50个,能满足的取70个,则需要取69×3=207个,一 共需要207+50+1=258个,故答案为C。

【答案】A

【解析】本题属于抽屉原理。最不利的情况是人力资源管理类50个人都找到工作,其他专业各69人找到工作。此时,再多一人,必然有一类达到70人,因此所求人数为69×3+50+1=258人。因此,本题答案为C选项。

【巩固训练】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12。

【解析】本题属于构造问题。由题意分析可知,当第2至第10名重量最轻且相等时,最重箱子重量最重。假设最轻

【例2】(2012-深圳-16)有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出()根。

【答案】13

的箱子重量是x,则最重的箱子重量最多为3x×1.5-2x=2.5x。依据题意列出方程,9x+2.5x=100,解得:2.5x=500/23。因此,本题的正确答案为A选项。

A.8B.9

【解析】分析与解答在这20个自然数中,差是12的有以下8对:{20,8},{19,7},{18,6},{17,5},{16,4},{15,3},{14,2},{13,1}。这其实就是我们说的抽屉。另外还有4个不能配对的数{9},{10},{11},{12},共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉),。只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到(取12个数:从12个抽屉中各取一个数(例如取1,2,3,…,12),那么这12个数中任意两个数的差必不等于12)。

【注释】要想达到最重,那么其他箱子的总重要最轻。要想其他的箱子总重达到最轻,那么应该每一个箱子都应该是最轻的。

威澳门尼斯人官网,C.10D.11

“极值问题”主要包含两部分,一个叫“最不利原则问题”,另外一个叫“和为定值求极值”,“最不利原则问题”上一节已经讲述过了,那么本节,中公教育专家主要来介绍极值问题里面的另一类,叫做“和为定值求极值”。

【例4】*(2011424联考)*把一个正四面体的每个表面都分成9个相同的等边三角形,用任意颜色给这些小三角形上色,要 求有公共边的小三角形不同,问最多有多少个小三角形颜色相同?

【答案】D

标识:题目中有若干个相同的事物且数量的和为定值,求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小值。

A.15 B.12

【题眼】“保证……至少……”

基础思想:想要求其中某个量最大,就让其他的几个量尽可能的小,想要其中的某个量最小,就让其他的几个量仅可能的大。

C.16 D.18

【解析】本题考察抽屉原理。最不利的情形是一种颜色的筷子摸出8支,其他两种颜色每种摸出1支,此时只要再摸出一支,就能保证有两双不同颜色的筷子。因此至少要摸出8+2+1=11支筷子。因此,答案选择D选项。

解法:将问题中所需要的变量设为X,如果其为最大,则只需要让其它量最小即可;反之,要求X最小 ,则考虑其它量尽可能大,相加等于总量,解方程就可以得出结论。。

【答案】A

【点拨】抽屉原理问题难度较小,找出“最不利的条件”即可。

我们现在举扑克牌的例子来说明一下,什么叫做和为定值求极值。

【解析】本题属于排列组合问题。将这个四面体展开之后平铺,就可以得到下图:

多集合问题

比如现在一个学年里一共有5个班级,现在有30个优秀学生干部的名额要进行分配,且每个班级都会分得优秀学生干部的名额,各班级分得的学生干部名额各部相同,根据以上题目描述,请回答以下几个问题:

【例3】(2010-联考918-40)某社团共有46人,其中35人爱好戏剧,30人爱好体育,38人爱好写作,40人爱好收藏,这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?()

(1)分得优秀学生干部名额最多的班级最少分得多少名额。

四面体中的任何一个面的9个等边三角形中有6个三角形的颜色可以相同,因为每个面与其余3个面相邻,所以其余3个面最多有3个等边三角形颜色可以相同,故而答案是6+3×3=15个。因此,本题的正确答案为A选项。

A.5B.6

【解析】要想分得优秀学生干部名额最多的班级分得的名额最少,这就要求其它班级分得的名额尽可能的多,可是名额再多也不可能比分得最多的这个班级多,所以形成“等差数列”的时候,分得的名额是最少的。

【注释】本题是立体几何与排列组合的结合,两部分对于考生都比较难,两者结合起来考察在短时间内很难做出反应。

C.7D.8

【答案】8个,其余几个班级分别为7,6,5,4

2012年联考最难的题

【答案】A

(2)分得优秀学生干部名额最少的班级最多分得多少名额。

【例5】*(2011421联考56题)*3颗气象卫星与地心距离相等,并可同时覆盖全球地表,现假设地球半径为R,则3颗卫星距地球最短距离为:

【题眼】“至少……四项都……”

【解析】要想分得优秀学生干部名额最少的班级分得的名额最多,这就要求其它班级分得的名额尽可能的少,可是名额再少也不可能比分得最多的这个班级少,所以形成“等差数列”的时候,分得的名额是最多的。

A. R B. 2R

【解析】若“四项都喜欢的最少”,可考虑四项都不喜欢的最多。不爱好戏剧的有46-25=11人,不爱好体育的有46-30=16人,不爱好写作的有46-38=8人,不爱好收藏的有46-40=6人,因此不全爱好的人最多有11+16+8+6=41人,全爱好的就有46-41=5人。因此,答案选择A选项。

【答案】4个,其余几个班级分别为5,6,7,8

C. 1/2R D. 2/3R

【点拨】本题根据最值思想,反向构造。

(3)分得优秀学生干部名额排名第三的班级,最多分得多少名额?

【答案】A

【例4】(2008-国家-56)共有100个人参加某公司的招聘考试,考试的内容共有5道题,1~5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试,请问至少有多少人能通过这次考试?()

【解析】要想分得优秀学生干部名额排名第三的班级分得的名额最多,这就要求排名第四、第五的班级分得的名额尽可能的少,最少的话就分别是2个名额,1个名额,可是还要求分得第三的班级的名额,最多,再多也不可能比分得第一多,第二多的班级多,因此排名前3的班级形成“等差数列”的时候,分得的名额是最多的。

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A.30B.55

【答案】8个,其余几个班级分别为10,9, 2,1

【解析】本题考核几何问题。

C.70D.74

【真题回顾】一次数学考试满分是100分,某班前六名同学的平均得分是95分,排名第六的同学的得分是86分,假如每人得分是互不相同的整数,那么排名第三的同学最少得多少分?

假设地球为球形,三颗气象卫星位于以地球为内切圆的等边三角形的三个顶点,根据直角三角形中30o角的性质关系,气象卫星距离地心的距离为2R,那么气象卫星距离地球的最近距离为R。因此,本题的正确答案为A选项。

【答案】C

A.94 B. 97

【注释】本题考查几何问题,需要考生有一定的空间想象力和物理知识,否则让人无从下手。

【题眼】“至少……能”

C.95 D. 96

【例6】*(2011421联考64题)*甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个,乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个,甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时,且x、y皆为整数,两名工人一天加工的零件总数相差:

【解析】1~5题答错的人数分别有100-80=20、100-92=8、100-86=14、100-78=22、100-74=26人。则所有人错题的数目=20+8+14+22+26=90,根据题意,答错3道题目的人就不能通过考试,那么错3题的人数最多=90÷3=30。则至少通过考试的人=100-30=70人。因此,答案选择B选项。

【答案】D

A. 6个 B. 7个

【点拨】本题难度比上题稍大。首先根据逆向思维,将题目转化为“错3道题目的人数”的最大值,再根据错题的总数目,最终求解。

【解析】6个人总分为570分,排名第三要最少,则其他部分需要尽可能大。那么第一名为100,第二名为99。设第三名为X,第4,5名次需要尽可能大,设为x-1,x-2,根据题意列方程为:

C. 4个 D. 5个

构造数列

100+99+x+x-1+x-2+86=570,解方程为x=96。故答案选D。

【答案】B

【例5】(2009-国家-118)100人参加7项活动,已知每个人只参加一项活动,而且每项活动参加的人数都不一样,那么,参加人数第四多的活动最多有几个人参加?()

【解析】由题意列表:

A.22B.21

A 3x 2y
B 6(8-x) 7(8-y)

C.24D.23

即:3x+6×(8-x)+2y+7×(8-y)=59.化简得:3x+5y=45。观察得:5y和45都是5的倍数,则3x也应该是5的倍数,即x是5的倍数。且0≤x≤8,所以,x=5,代入解得y=6。最后,两人零件的差值为3×5+6×(8-5)-2×6+7×(8-6)=7。因此,本题的正确答案为B选项。

【答案】A

【注释】本题还可以用奇偶和尾数法。

【题眼】“第四多……最多……”

可见,在春季联考中会出现一些较有特色和创新的难题,考生很难在短时间内判断或快速解答,因此需要把时间着重放在60%-70%的基础和中等题来得分。这也是放弃原则,即选择性做题,先选会的。调整好心态,避过难题,一举成“公”。

【解析】参加第四多的活动的人数最多,就要保证参与其他活动的人最少,那么排名五、六、七的参加人数最少为3、2、1人,设参加第四多的人数为X人,则排名第三、二、一的参加人数至少为X+1、X+2、X+3,根据题意可得1+2+3+X+(X+1)+(X+2)+(X+3)=100,解得X=22。因此,答案选择A选项。

【点拨】此题有三个关键点。一是“每项活动参加的人数都不一样”是明确的“不等”。二是假定排名第四的参与人数确定,则排名第三、二、一的也可确定最小值。三是排名第七、六、五的参加人数为1、2和3。

【例6】(2010-国家-55)某机关20人参加百分制的普法考试,及格线为60分,20人的平均成绩为88分,及格率为95%。所有人得分均为整数,且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分?

A.89B.88

C.91D.90

【答案】A

【题眼】“第十的人……最低……”

【解析】20人总共失分(100-88)×20=240。根据20×95%=19,即只有1人不及格,要使第十名失分尽量多(得分尽量低),则要保证其他人失分最少。则前9名分别失分0、1、…、8分,设第十名最少失分X,则第11名至第19名失分分别为X+1、X+2、…,X+9,第20名不及格,最少失分100-59=41,根据题意可得(0+1+…+8)+[X+(X+1)+(X+2)+…(X+9)]+41=240,解得X=11.8,则第10名最多失分11,得分89。因此,答案选择A选项。

【点拨】本题和上题有相似之处,思路一致,但运算难度大。题目与等差数列结合,需要运用等差数列的求和公式。难点一是根据总的失分确定(总分数也可,但运算量加大),由排名第十的分数,分别构造排名1~9、11~19和第20名的分数。难点二是求解结果为小数,注意取整。最多失分为11.8,取整为11。

【例7】(2011-联考-46)10个箱子总重100公斤,且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤?()

A.200/11B.500/23

C.20D.25

【答案】B

【题眼】“最重的……最多……”

【解析】要保证最重的最重,就要使其他的箱子最轻。设最重的箱子重为Y,最轻的箱子重X,为保证除最重的箱子外,其他箱子最轻,则其他九个箱子重量均为X,根据题意,9X+Y=500,Y+2X=1.5×3X,解得Y=2.5X=500/23。因此,答案选择B选项。

【点拨】本题的难点在于正确构造“最重的箱子最重”的情况,题干没有明确的“不等”,需要去挖掘暗含的“等”。

结束语

国考大战在即,备考需争分夺秒。掌握重点题型,效果事半功倍。望广大考生在备考中根据特点迅速识别题型,根据常用方法快速解题。华图教育恭祝各位考生金榜题名。

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