排列组合之隔板法,2015春季公务员考试行测之速

时间:2019-11-21 12:17来源:威澳门尼斯人官网
隔板法是解决排列组合问题的常用方法,这类题型在历年国家公务员[微博]考试中都有所涉及,非常值得我们在复习备考过程中给予足够的关注。中公教育[微博]专家建议考生重点掌握。

  隔板法是解决排列组合问题的常用方法,这类题型在历年国家公务员[微博]考试中都有所涉及,非常值得我们在复习备考过程中给予足够的关注。中公教育[微博]专家建议考生重点掌握。

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排列组合问题一直是公务员[微博]行测考试的重点题型,也是很多考生感到头疼的题目。在排列组合问题中有一种隔板法,如果将题干特征辨认清楚的话,套用公式可以帮助我们快速解题。中公教育[微博]专家总结出隔板法的题干特征有:(1)相同元素分堆;(2)每堆至少一个。必须同时满足这两个条件才可以使用隔板法解决。所求方法数为:

  隔板法是指利用假定的隔板解决相同元素的分配问题。题干标准形式一般表述为“把n个相同的元素分给m个不同的对象,每个对象至少1个元素,问有多少种不同的分法?”,为使每个对象至少分一个,先去掉n个连续相同元素两端的空隙,用隔板的方法在元素之间形成的(n-1)个空隙中插入(m-1)个隔板,则n个相同元素被分为m堆,对应于m个不同的对象。其分法数用公式可以表示为。

1、排列组合基本概述

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

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例题1.10个相同的小球,放入4个不同的盒子里面,每个盒子至少要放一个球,问有几种放法?

  利用隔板法解决此类问题,题干必须同时满足:所分的元素完全相同;分给不同的对象且必须分完;每个对象必须至少分到1个。若遇到题干所给的部分条件不能满足,比如:“至少分多个”或者“至少分0个”,需要转化成“至少分一个”的标准形式。

2、基本计数原理

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众所周知,数量关系是行测考试中的必考题型,而数量关系中又总潜藏着一只“拦路虎”——排列组合。下面中公教育[微博]专家就告诉各位考生速解排列组合的一些经典方法。

A.84B.86C.90D.92

  例1:12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?

3、排列

【例1】某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班,每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排在星期五值班,则不同的排班方法有( )种?

【中公解析】本题是10个相同的小球,放到4个盒子里,满足相同元素分堆,每个盒子至少一个,满足每堆至少一个,两个条件同时满足,直接套用公式:=,答案选A。

  【中公解析】要将12个小球放入四个盒子中,小球相同,要完全分完且每个盒子里至少有一个,符合隔板法的应用条件。所以解决本题只需要在12个小球形成的11个间隔中插入3个隔板即可。总的放法有=165(种)。

3.1 符号

A-Arrangement 排列数

A. 6B.36C.72D.120

例题2.某单位订阅了30份学习材料分发给3个部门,每个部门至少发放9份材料,问一共有多少种不同的发放方法?

  在例1中,题干表述正好是利用隔板法解决排列组合问题的标准形式,但是在实际的公职类考试中,题干的表述并不是标准的形式,即某些条件没有满足。在这样的情况下,我们就需要对题干进行转换,变为利用隔板法解题的标准形式。

3.2 定义

从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A(n,m)表示。

中公解析:由题意可知,甲乙两人不能安排在星期五值班,则甲乙只能安排在星期一到星期四这4天,所以应该是威澳门尼斯人官网 4,而其他3人没有任何特殊要求,则可以随便安排,即威澳门尼斯人官网 5,安排这五人值班是分步进行的,所以用乘法,即威澳门尼斯人官网 6,故选A。该题目采用优限法,针对那种有特殊要求的元素或位置,先进行排列,然后再排列其他元素的情况。

A.7B.9C.10D.12

  例2:12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,每盒可空,问不同的放法有多少种?

3.3 公式

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例子:6!=6x5x4x3x2x1

【例2】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起,那么共有陈列方式的种数为( )?

【中公解析】本题中30份相同的学习材料发给3个部门,满足相同元素分堆问题,但是每个部门至少发放9份材料,又不满足每堆至少一个。此时,我们需要想办法转化成隔板法的问题,他要求每个部门至少发放9份材料,我们就可以先每个部门发放8本材料,剩下的30-3×8=6本材料,再使用隔板法,每个部门至少一个,加上之前每个部门分得的一个,就满足了每个部门至少9个这个条件。故应该为,答案为C。

  【中公解析】本题是相同元素分配,考虑利用隔板法,但是题干中允许每盒可空,这和利用隔板法解题的条件不符,所以我们不能直接利用隔板法。需要对题干条件进行转化。若我们在四个盒子中先分别放一个小球,这样就可以满足利用隔板法的前提条件,原题就转换为“把16个球放到4个盒子里,每个盒子至少要有一个球,不同的放法有多少种?”。就是要在16个球形成的15个间隔中插入3块隔板,共有=455种。

3.4 推导公式

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A。威澳门尼斯人官网 9B。威澳门尼斯人官网 10C。威澳门尼斯人官网 11D。威澳门尼斯人官网 12

例题3.刘老师有10支一模一样的铅笔,想要分给四个学生,他还没有想好每个学生分几只铅笔,问刘老师可能的分法有几种?

  在例2中,我们通过给每个盒子里面加上一个小球,把转换把原题转变为每个盒子里面至少有一个小球,这样就可以利用隔板法来解决。

3.5理解例题

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中公解析:由题意可知同一品种的画必须连在一起,则可以把这些同品种的画捆绑在一起,有三种画,排列方法有威澳门尼斯人官网 18,然后将每种捆绑的画松绑,即同种画再全部排列。最终应该是威澳门尼斯人官网 19,正确答案为A。该题目采用捆绑法,针对于题干中出现“必相连、相邻、挨着”等词语,可以把这些元素先进行捆绑,排列后再给捆绑的元素松绑。

A.285B.286C.287D.288

  例3:12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,要求每个盒子中的小球数至少为2个,问不同的放法有多少种?

4、组合

【例3】 若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必不相邻站在一起,则有()排队方法?

【中公解析】10个相同的铅笔分给四个学生,满足相同元素分堆,但是还没有想好每个学生分几只铅笔,也即有的学生有可能没有铅笔,那现在这种情况也不满足隔板法的要求,我们就需要想办法转化成隔板法。这里我们主要采取一个先“先借后还”的思想。现在别处借4支铅笔,放到这10个铅笔里,现在一共有14个铅笔,这14个铅笔,使用隔板法,然后每个学生至少有一只铅笔,比如是按照1、1、12个这种情况分的,因为之前借了四个铅笔肯定还要还四支,还铅笔的时候就要注意了,是每个学生还一个铅笔,1、1、12的情况就变成了0、0、10,现在就保证了是任意分的情况。故答案应该为,答案应该是B。

  【中公解析】题干中要求每个盒子中的小球数至少为2个,这与我们利用隔板法的条件不同,我们需要对其进行转换。我们可以先在每个盒子中先放一个小球,这样还剩8个球,原题就转换为“8个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,要求每个盒子中的小球数至少为1个,问不同的放法有多少种?”这样我们就可以直接利用隔板法来解决了。就是要在个8球形成的7个间隔中插入3块隔板,共有=35种。

4.1 符号

C-Combination 组合数

A.42B.56C.60D.72

以上中公教育专家给大家总结了隔板法常见的三种题型,希望大家平时多做练习,掌握方法技巧,为考试赢得更多的宝贵时间。

  在例3中,要求每个盒子中的小球数至少为2个,我们通过先在每个盒子中放1个,转化为每个盒子中的小球数至少为1个。   

4.2 定义

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

中公解析:由题意可知,A、B两人必不相邻,可以利用插空法将这两个人分开。那么先排列其他三人,则威澳门尼斯人官网 20,然后这三人形成4个空,把A、B两人排列到这4个空中,则威澳门尼斯人官网 21。则最终排队方法数为威澳门尼斯人官网 22。故选D。该题目采用插空法,针对题干中出现“必不相连、不相邻、不挨着”等词语,可以把没有要求的其他元素先排列,排列完所形成的空再让这些特殊元素去插空,就可以做到“不相邻”。

  例4:12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,要求每个盒子中的小球数不小于其编号数,问不同的放法有多少种?

4.3 公式

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【例4】 若有7个大小颜色相同的小球,放到三个盒子中,每个盒子至少放一个小球,则共有()种方法?

  【中公解析】本题题干所给的内容,我们无法直接利用隔板法解决。必须先通过转换。可以将1个、2个、3个小球放入编号为2、3、4的盒子中,这样原题转换为将6个小球放在4个盒子中,每个盒子至少放一个小球,也就是在6个球所形成的5个间隔中插入三个隔板,共有=10(种)。

4.4 理解例子

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A.20B.16C.15D.12

  在例4中,我们可以通过在编号为2、3、4的盒子中先放1、2、3个小球,把原题转化为我们熟悉的标准形式,从而快速解题。

5、隔板法

中公解析:由题意可知,7个相同小球,放到三个盒子,且每个盒子至少放一个小球的方法,可以利用隔板法,这符合隔板法的条件:“同素分堆”且“至少有一个”,那么7个球中间形成6个空,为了分成三堆,则随意扔两块板就能分成三堆,且每堆至少有一个。方法数有威澳门尼斯人官网 32。故选C。该题目采用隔板法,针对于题干中出现“同种元素,且至少有一个”,可以先看这些元素形成多少个空,然后通过往空里放隔板,得到每堆里至少有一个。

  以上是中公教育专家总结出来的公务员考试中考[微博]查隔板法的常见问法,考生要想在考试中熟练解决这类问题,就必须要熟记和理解隔板法的利用前提,即所分的元素完全相同、分给不同的对象且必须分完、每个对象必须至少分1个。此外还要熟练掌握此类问题不同问法之间的转换。

4.1 概述

在组合数学中,隔板法(又叫插空法)是排列组合的推广,主要用于解决不相邻组合与追加排列。

【例4变型1】 若有7个大小颜色相同的小球,放到三个盒子中,每个盒子至少放两个小球,则共有()种方法?

4.2 定义

隔板法就是在n个元素间插入(b-1)个板,即把n个元素分成b组的方法。

A.10B.6C.5D.3

4.3 问题解析

例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?
分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法.
解析:将20个小球分成三组需要两块隔板,因为允许有盒子为空,不符合隔板法的原理,那就人为的再加上3个小球,保证每个盒子都至少分到一个小球,那就符合隔板法的要求了(分完后,再在每组中各去掉一个小球,即满足了题设的要求)。然后就变成待分小球总数为23个,球中间有22个空档,需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份,共有C(22,2)=231种不同的方法.
点评:对n件相同物品(或名额)分给m个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组,允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组,需要m-1块隔板,将这n件物品和m-1块隔板排成一排,占n+m-1位置,从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法,再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种放法,根据分步计数原理,共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法

中公解析:由题意可知,要想利用隔板法,必须先把这个题目转化成“至少有1个”的条件,可以先把每个盒子中先放一个,然后剩下的小球再利用隔板法即可。三个盒子中分别先放1个,则还剩下4个,形成3个空,扔2块板,即威澳门尼斯人官网 33。故选D。

4.4 水果分篮问题

例2:有广西橘子,烟台苹果,莱阳梨若干,从中随意取出四个,问共有多少种不同取法?
问题等价于将四个水果放入三个不同的水果篮,且允许篮子为空,{这里是逆向思维逻辑}
将4+3=7个水果分为3个组,分组需2个隔板,隔板共有6个放置位置,
故有C(4+2, 2)个选择,即15种。

【例4变型2】 若有7个大小颜色相同的小球,放到三个盒子中,允许有盒子为空,但球必须放完,则共有()种方法?

4.5 物品问题

例3将20个优秀学生名额分给18个班,每班至少1个名额,有多少种不同的分配方法?
分析:本题是名额分配问题,用隔板法.
解析:将20个名额分配给18个班,每班至少1个名额,相当于将20个相同的小球分成18组,每组至少1个,将20个相同的小球分成18组,需要17块隔板,先将20个小球排成一排,因小球相同,故小球之间无顺序,是组合,只有1种排法,再在20个小球之间的19个空档中,选取17个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有C19 17种不同的放法,根据分步计数原理,共有C19 17种不同的方法,因17块隔板将20个小球分成18组,从左到右可以看成每班所得的名额数,每一种隔板与小球的排法对应于一种分法,故有Cn-1 m-1种分法.
对相同物品分配问题,注意某若干组能否为空,能为空和不能为不空,方法不同,要体会和掌握.
这里应该考虑人的不相同性,对18组人进行排列组合,结果应该是C19 17 *18!

A.60B.36C.25D.15

中公解析:由题意可知,要想利用隔板法,必须先把这个题目转化成“至少有1个”的条件,可以先借3个小球放入每个盒子中,现在共有10个小球总共形成了9个空,扔2块板,即威澳门尼斯人官网 34。然后再把借来的小球还了就满足题意“可为空”,故选B。如果遇见题干中出现“可为空”,则要有“借”的思想。

【例5】 张王李赵四人围在圆桌周围就餐,请问共有()种坐法?

A.6B.8C.9D.15

中公解析:由题意可知,这是排列组合里的一种经典模型——圆桌排列。这里面排列方法数与第一个入座无关,第一个入座后其他人以他为标准依次入座即可,所以,圆桌排列的方法数是比排列元素少一的全排列。本题目则为威澳门尼斯人官网 35,故选A。

【例6】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每人去品尝一道菜,但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法?

A.6种B.9种C.12种D.15种

中公解析:由题意可知,这是排列组合里的另一种经典模型——错位重排。也就是一不是一、二不是二、三不是三,该经典模型排列数的公式为:威澳门尼斯人官网 36威澳门尼斯人官网 37,则威澳门尼斯人官网 38,那么威澳门尼斯人官网 39故选B。各位考生以后再遇见这类错位重排的题目时,请记住:威澳门尼斯人官网 40

前四道例题主要是讲排列组合中最常用的4种方法:优限法、捆绑法、插空法以及隔板法。而后面两道例题主要介绍了两种经典模型:圆桌排列和错位重排,只要记住相应的计算公式,这类题目就能轻而易举地做对。中公教育专家希望各位考生学会这些速算方法和经典模型,那么这只“纸老虎”就再也无法阻挡你迈向成“公”。

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